8/20 数学・前回の別解３つ
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【問題】 上の図において、二等辺三角形ＡＢＣで、底角∠Ｂ,∠Ｃの二等分線が辺ＡＣ,ＡＢと交わる点をそれぞれＤ,Ｅとする。 このとき、ＥＢ＝ＤＣ であることを証明しなさい。 [別解１] ＢＤとＣＥとの交点をＦとする。 （あらすじ：△ＥＢＦと△ＤＣＦが合同であることを言って、「ゆえにＥＢ＝ＤＣ」 とキメル。 合同をいうために、△ＦＢＣが二等辺三角形になることからＦＢ＝ＦＣを使うのがポイントでしょうか。） △ＥＢＦと△ＤＣＦで、 △ＡＢＣは ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形だから ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ・・・・① 仮定から ∠ＥＢＦ＝∠ＡＢＣ／２・・② ∠ＤＣＦ＝∠ＡＣＢ／２・・③ ①,②,③ より ∠ＥＢＦ＝∠ＤＣＦ・・・・④ ところで、△ＦＢＣにおいて、 仮定より ∠ＦＢＣ＝∠ＥＢＦ・・・・⑤ ∠ＦＣＢ＝∠ＤＣＦ・・・・⑥ ④,⑤,⑥ より、 ∠ＦＢＣ＝∠ＦＣＢ ２つの角が等しい三角形はそれらの角を底角とする二等辺三角形であるから、 △ＦＢＣは、∠ＦＢＣと∠ＦＣＢとを底角とする二等辺三角形である。 よって ＦＢ＝ＦＣ・・・・・・・・⑦ さらに、対頂角であるから ∠ＥＦＢ＝∠ＤＦＣ・・・・⑧ ④,⑦,⑧により １辺とその両端の角がそれぞれ等しいので （１辺：⑦、その両端の角：④,⑧） △ＥＢＦ≡△ＤＣＦ ゆえに ＥＢ＝ＤＣ （かなりシンドイ。夏むきじゃない！） [別解２] 
（あらすじ：まず、△ＡＣＥと△ＡＢＤが合同であることをいって、ＡＥ＝ＡＤをみちびく。 つぎに、これとＡＢ＝ＡＣとから引き算の式でＥＢとＤＣを書けば結論がいえる。） △ＡＣＥと△ＡＢＤで、 仮定から ＡＣ＝ＡＢ・・・・・・・・① 共通な角だから ∠ＥＡＣ＝∠ＤＡＢ・・・・② また、仮定から ∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ／２・・③ ∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ／２・・④ △ＡＢＣは ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形だから ∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ・・・・⑤ ③,④,⑤より ∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＤ・・・・⑥ ①,②,⑥により １辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ＡＣＥ≡△ＡＢＤ したがって ＡＥ＝ＡＤ・・・・・・・・⑦ ところで、 ＥＢ＝ＡＢ－ＡＥ・・・・・⑧ ＤＣ＝ＡＣ－ＡＤ・・・・・⑨ よって①,⑦,⑧,⑨より ＥＢ＝ＤＣ [別解３] 
（あらすじ：ここまでの３つの解答は三角形の合同を利用したが、ここでは円を利用する。 まず、４点Ｄ,Ｅ,Ｂ,Ｃが同一円周上にあることを言い、つぎに、弧ＥＢ,弧ＤＣに対する円周角が等しいことを言って結論をみちびく。） △ＡＢＣは ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形だから ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ・・・・① 仮定から ∠ＥＢＤ＝∠ＡＢＣ／２・・② ∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ／２・・③ ①,②,③ より ∠ＥＢＤ＝∠ＤＣＥ・・・・④ また、３点Ｄ,Ｅ,Ｂを通る円において、点Ｃは弦ＥＤについて弧ＥＢＤと同じ側にある。 このことと④とにより、点Ｃは弧ＥＢＤ上にある。 すなわち、４点Ｄ,Ｅ,Ｂ,Ｃは同一円周上にある。・・＠ ところで、 仮定から ∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＥ・・・・⑤ ∠ＣＢＤ＝∠ＥＢＤ・・・・⑥ ④,⑤,⑥より ∠ＢＣＥ＝∠ＣＢＤ・・・・⑦ １つの円において、等しい円周角に対する弧は等しいから ＠,⑦より 弧ＥＢ＝弧ＤＣ １つの円において、等しい弧に対する弦は等しいので ＥＢ＝ＤＣ うっかりしていて申しわけないが、この[別解３]は現行教科書－平成１３年検定－の内容を超える。 したがって、新課程で学ばれた方は、この解答が思い浮かばなくて当然である。 アシカラズ・・・。 なお、前回、もうひとつ非一般的な解答がある と申しあげたが、それは次回にご紹介させていただくことにする。 あらすじは、三角形における角の二等分線と線分の比との関係を利用するものであって、小生の好みでは５つの解答のうちでもっともビューティフルな解答になると思われるが、これこそ現行教科書を超える。 中学生,高校生の数学の勉強,学習,受験
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