7/7 数学・図形に書き込む
前回（6/27 書けば解ける）の続編でありまして、 「図形に、わかっていることを（長さや角が等しい、とか平行とかを記号で）書き込むと"御利益"がある」 というおはなし。 前回と同様、問題を例にして説明させていただく。 【 問題 】 図のように、頂点Ａが重なる正三角形ＡＢＣと正三角形ＡＤＥがある。 Ｄが辺ＢＣ上にあるとき、∠ＡＣＥの大きさを求めよ。 （中学２年の数学教科書に載っている問題である。） まず、記号が書き込まれていない下図を見て、お考えいただきたい。 
なかなか妙案が浮かばないのではないだろうか？ （スラスラ出来ちまった方は前回同様、以下の駄文はお読みになる必要はない。 ゲームのつづきでもやってください。） では、長さについて等しいことを示す記号を書き込んだ次の図をご覧いただきたい。 
すると、求めるべき∠ＡＣＥ（？マークの角）を含む△ＡＣＥと、それと形が似ている△ＡＢＤの二つについて、等しいという記号がついている辺は、 ＡＣ＝ＡＢ・・・① と ＡＥ＝ＡＤ・・・② であることが容易にわかる。 ここで、もし ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＤ・・・③ であれば、①,②といっしょになって、三角形の合同条件のひとつである 「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」 がＯＫになるので、両三角形は合同になり、したがって ∠ＡＣＥ＝∠Ｂ＝６０° となって、一件落着と相成る。 （∠Ｂ＝６０°の理由：△ＡＢＣは正三角形なので３つの角はすべて６０°） そこで、③がＯＫかどうかだが、③の両辺は、正三角形の１つの角（∠ＤＡＥ、∠ＢＡＣ）すなわち６０°からそれぞれ同じ∠ＤＡＣを差し引いたものであって、式に書けば、 ∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ－∠ＤＡＣ＝６０°－∠ＤＡＣ ∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＤＡＣ＝６０°－∠ＤＡＣ よって ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＤ （③と同じ） であるから、③は１００％ＯＫである。 したがって、正解は ∠ＡＣＥ＝６０° でゴザル。 さて、はなしを本題にもどして、この問題が解けるか否かは、「△ＡＣＥと△ＡＢＤが合同であること」に気がつくことに懸かっており、上の２つの図のどちらが気づき易いかといえば、モチ、下の記号入りの図の方であろう。 「上の図の方」とお答えの方には、お臍がまっすぐかどうかご点検をおすすめする。 以上のことから、図に記号を書き込むと御利益があることをご理解いただけたと思う。 おおいに利用していただきたい。 なお、下記のようなビューティフルな別解もあるので、ご参考まで。 ただし、現行（H13年検定）の教科書の記述を少し超えるが。 （旧教科書ではセーフである。） 【別解】 
△ＡＤＥは、はじめ、ＡＤ,ＡＥがそれぞれＡＢ,ＡＣに重なる位置にあったとし、その位置から点Ａを中心として反時計回りの向きに∠ＣＡＥだけ回転移動したと考える。 また、はじめの位置では ＤＥ//ＢＣ すなわち ＤＥとＢＣのなす角は０°であったから ∠ＣＡＥ＝∠ＣＤＥ （両方とも回転した角） さらに、点Ｄ,Ｃ,Ｅを通る円において、点Ａは弦ＣＥについて弧ＣＤＥと同じ側にある。 この２つのことから、定理（＊）により、点Ａは弧ＣＤＥ上にあることになる。 すなわち４点Ａ,Ｄ,Ｃ,Ｅ は同一円周上にある。 そして、∠ＡＣＥと∠ＡＤＥは共通の弧ＡＥに対する円周角になっている。 したがって定理（＊＊）により ∠ＡＣＥ＝∠ＡＤＥ＝６０° （別解ＥＮＤ） 定理（＊） 円Ｏで、点Ｑが弦ＡＢについて弧ＡＰＢと同じ側にあって、 ∠ＡＱＢ＝∠ＡＰＢならば、点Ｑは弧ＡＰＢ上にある。 （現行教科書では削除されている。） 定理（＊＊） 同じ弧に対する円周角の大きさはすべて等しい。 この別解をビューティフルと思っていただけるか否かは、もちろん貴下のご自由である。 数学の勉強,学習,受験
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